Il metodo di Eratostene per misurare il raggio terrestre

Con alcune classi del Liceo Scientifico Gandini di Lodi il 22 settembre di quest'anno aderiamo al progetto Eratostene, organizzato con il supporto della Commissione Europea nel settimo programma quadro (FP7).

Una rete di migliaia di scuole in tutto il mondo aderisce a questo progetto per ripetere quello che può essere considerato il primo grande esperimento di fisica.

L'esperimento è molto semplice ma allo stesso tempo significativo.
Insegnare la fisica attingendo anche ad esempi dell'astronomia può essere, secondo me, molto efficace. Nel tempo costruirò una serie di esempi e lezioni guidate per alcuni degli argomenti di fisica del Liceo. L'esperimento di Eratostene è il primo esempio in tal senso.

Per molti anni ha operato anche una rete più piccola di scuole italiane, chiamata rete di Eratostene , che ha messo a disposizione dell'ottimo materiale sia sull'esperimento di Eratostene che sull'astronomia ad occhio nudo in genere.
Di Eratostene Carl Sagan, nel suo libro Cosmo scriveva:

"Un tempo, il nostro piccolo pianeta ci sembrava immenso ed era l'unico mondo che potevamo esplorare. Le sue dimensioni reali furono ricavate per la prima volta in un modo molto semplice ed ingegnoso da un uomo che visse in Egitto nel III secolo a.C. Ad Alessandria d'Egitto, nei suoi tempi d'oro, visse un uomo eccezionale che si chiamava Eratostene. Uno dei suoi contemporanei lo soprannominò beta, la seconda lettera dell'alfabeto greco, perché lui diceva "Eratostene era il secondo uomo al mondo in ogni campo". Ma oggi appare chiaro che per le sue qualità Eratostene dovesse chiamarsi alpha: si occupò di astronomia, di storia, di geografia, di filosofia, poesia, critica teatrale e di matematica."

L'idea che la Terra fosse di forma sferica era già stata suggerita da Aristotele ed altri filosofi greci. Ma fu Eratostene a proporre un metodo per misurare il raggio terrestre. Secondo l'ottima descrizione data dal sito http://www.vialattea.net/eratostene

Eratostene, nel III secolo avanti Cristo, realizzò la prima misurazione delle dimensioni della Terra. Egli si accorse infatti che, a mezzogiorno del solstizio d'estate, a Siene (l'attuale Assuan) i raggi solari cadevano verticalmente illuminando il fondo dei pozzi. Ciò invece non accadeva ad Alessandria d'Egitto: qui formavano un angolo pari a un cinquantesimo dell'angolo giro (7,2°) rispetto alla verticale del luogo.
Eratostene assunse che la forma della Terra fosse sferica e che i raggi solari fossero paralleli. Di conseguenza, l'angolo di 7,2° è uguale all'angolo che ha per vertice il centro della Terra e i cui lati passano rispettivamente per Alessandria e per Siene.
Se quest'angolo è un cinquantesimo dell’angolo giro, la distanza tra le due città (un arco di circonferenza massima) dev’essere un cinquantesimo della circonferenza terrestre. A quel tempo, la distanza tra Alessandria e Siene era considerata di 5.000 stadi che, moltiplicato per 50, dava una misura di 250.000 stadi: si tratta della prima determinazione della circonferenza della Terra basata su un metodo scientificamente valido.

 Dal punto di vista geografico Alessandria e Siene sono situati:

In un film realizzato dall'IBM si raccontava:

Cosa si fa nella rete di Eratostene e nel progetto Eratosthenes?

Alle nostre latitudini i raggi solari non raggiungono mai la verticalità. D'altra parte ciò che conta è la differenza di inclinazione dei raggi, come vengono osservati da due località (scuole) poste una a nord e l'altra a sud, all'incirca sullo stesso meridiano. Proponiamo quindi di misurare contemporaneamente l'altezza del Sole e confrontare i due risultati. Per maggior precisione, la misurazione dovrebbe avvenire nel momento della culminazione del Sole, cioè nel momento del mezzogiorno solare vero (non quello indicato dagli orologi meccanici, bensì il mezzogiorno delle meridiane)

La situazione da un punto di vista geometrico è questa: 

L'angolo θ_A che misureremo a Lodi si calcola: θ_A=arctan (S/H) , con S che indica l'ombra del palo e H la sua lunghezza. La scuola "gemellata" misurerà a sua volta, nel proprio mezzogiorno locale l'angolo   θ_B. 

Considerato che le classi coinvolte sono delle prime, utilizzeremo come unità di misura per gli angoli i gradi °.

Se θ_A è la misura a Lodi e θ_B è la misura nell'altra scuola, avremo:

(θ_A -θ_B ) : 360° =D : 2πR

D è la distanza tra le due città

R è il raggio terrestre

            

 L'angolo θ_Asi calcola: θ_A=arctan (S/H)

Per determinare il mezzogiorno locale di ciascuna città, si utilizza lo straordinario software “Stellarium”, (vedi scheda allegata del progetto Eratosthenes[1]). Le due scuole, a meno che non abbiano esattamente la stessa longitudine avranno due tempi differenti di mezzogiorno locale, quindi le misure verranno effettuate in momenti diversi.

Per ricavare la distanza tra le due scuole si può utilizzare “Google Earth” [2].

Materiale occorrente per l'esperimento

• Bastone di altezza H. Potrebbe essere di lunghezza qualsiasi ma ne useremo uno di un metro come richiesto dal progetto. Si cercherà di fissarlo al terreno
• 1 metro per misurare  lunghezze del bastone e della sua ombra
• 1 calcolatrice scientifica
• 1 quaderno e una copia della tabella per inserire i dati
• squadrette o filo a piombo per verificare la verticalità del bastone

Per controllare che il piano sia orizzontale si può usare una livella a bolla, ancor meglio gli studenti possono installare l'app per smartphone “Livella a bolla – Bubble Level”  (come suggerito durante l'esercitazione del progetto EEE-Extreme Energy Events-, a cui hanno partecipato alcuni studenti della scuola l'anno scorso).

Come effettueremo la misura

Ciascuna classe formerà gruppi di 5/6 studenti, in modo che ciascun studente  effettuerà una misura e poi si farà la media di queste misure. (VEDI Tabella in basso)

Si effettuerà una prima misura di prova 5 minuti prima del mezzogiorno solare.

Successivamente la misura vera si effettuerà al mezzogiorno solare (Per LODI significa alle 13:17 ) 

Per l'errore sull'angolo θ_A utilizzeremo l'errore massimo.

Si calcolerà poi un valore medio per tutta la classe (2-3 gruppi per classe).

Le altre classi procederanno allo stesso modo, si invierà al progetto europeo la misura dell'angolo θ_A con l'errore più piccolo. Confrontando i dati con la scuola gemella otterremo una stima del raggio terrestre. (tempo nuvoloso permettendo!)

Gruppo ___     Classe ___
Ora inizio misura:
Lunghezza bastone H (in cm)
Lunghezza ombra S (in cm)
Angolo in gradi θA :
Valore medio θA :
Errore massimo sull'angolo:

Come si è tenuto conto del fatto che le due città hanno una longitudine differente?

Consideriamo ad esempio:



Due città come Napoli e Milano differiscono in longitudine di Δγ= 5° 06'. Il mezzogiorno locale non avverrà quindi nello stesso momento ma ad un Δt corrispondente al tempo che la Terra impiega per ruotare di 5° 06'. Si può usare la proporzione:

360°: 24 h= Δγ: Δt

In questo caso otteniamo: Δt=20 minuti.

Domande e possibili collegamenti

Discutere perché i raggi del Sole possono considerarsi paralleli.
Proprietà degli angoli alterni interni.

• Perché si sono scelte due città aventi la stessa longitudine? Perché non si può usare Milano e Barcellona?
• Come fece Eratostene a misurare la distanza tra Alessandria e Syene più di 2000 anni fa?
• Come Eratostene poteva sapere che ad Alessandria i raggi non fossero perpendicolari?
• Perché l'ora esatta del mezzogiorno locale differisce tra le scuole gemelle?
• Come varia l'errore all'aumentare della distanza in latitudine delle scuole?

[1] http://eratosthenes.ea.gr/sites/default/files/Stellarium_guidance_IT.pdf
[2]http://eratosthenes.ea.gr/sites/default/files/Measuring_the_distance_IT.pdf