George Polya

"Una grande scoperta risolve un grande problema, ma nella soluzione di qualsiasi problema c'è un pizzico di scoperta. Il tuo problema può essere modesto, ma se stimola la tua curiosità, tira in ballo la tua inventiva e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi sperimentare la tensione e gioire del trionfo della scoperta".

Polya è stato un grande matematico, che ha scritto anche cose interessanti sulla didattica. In "

How to Solve It”, 2^nd ed., Princeton University Press, 1957,

fornisce delle linee guida su come affrontare i problemi scientifici

1. UNDERSTAND THE PROBLEM

· First. You have to understand the problem.

· What is the unknown? What are the data? What is the condition?

· Is it possible to satisfy the condition? Is the condition sufficient to determine the unknown? Or is it insufficient? Or redundant? Or contradictory?

· Draw a figure. Introduce suitable notation.

· Separate the various parts of the condition. Can you write them down?

2. DEVISING A PLAN

· Second. Find the connection between the data and the unknown. You may be obliged to consider the auxiliary problems if an immediate connection cannot be found. You should eventually obtain a plan of the solution.

· Have you seen it before? Or have you seen the same problem in a slightly different form?

· Do you know a related problem? Do you know a theorem that could be useful?

· Look at the unknown! And try to think of a familiar problem having the same or a similar unknown.

· Here is a problem related to yours and solved before. Could you use it? Could you use its result? Could you use its method? Should you introduce some auxiliary element in order to make its use possible?

· Could you restate the problem? Could you restate it still differently? Go back to definitions.

· If you cannot solve the proposed problem, try to solve first some related problem. Could you imagine a more accessible related problem? A more general problem? A more special problem? An analogous problem? Could you solve a part of the problem? Keep only a part of the condition, drop the other part; how far is the unknown then determined, how can it vary? Could you derive something useful from the data? Could you think of other data appropriate to determine then the unknown? Could you change the unknown or data, or both if necessary, so that the new unknown and the new data are nearer to each other?

· Did you use all of the data? Did you use the whole condition? Have you taken into account all essential notions involved in the problem?

3. CARRYING OUT THE PLAN

· Third. Carry out your plan.

· Carrying out your plan of the solution, check each step. Can you see clearly that the step is correct? Can you prove that it is correct?

4. LOOKING BACK

· Fourth. Examine the solution obtained.

· Can you check the result? Can you check the argument?

· Can you derive the solution differently? Can you see it at a glance?

· Can you use the result, or the method, for some other problem?

La notazione scientifica e l'Universo

In prima ho fatto alcuni cenni alla notazione scientifica e agli ordini di grandezza. Normalmente è un tema di fisica ma il libro di matematica lo riporta nel capitolo dei numeri razionali ed allora trovo interessante proporlo ai ragazzi.

Riprendo quanto detto in un post dell'anno scorso:

Tutta la realtà conosciuta si estende su 40 ordini di grandezza. I quark all'interno dei protoni hanno dimensioni dell'ordine di 10^-16 metri, l'universo conosciuto dell'ordine di 10^26 metri.

Come cambi la prospettiva al variare dell'ordine di grandezza lo si può vedere qui:

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/

oppure in italiano:

http://microcosm.web.cern.ch/Microcosm/P10/Italian/welcome.html

Questi siti si ispirano ad un libro molto bello della Zanichelli, pubblicato qualche anno fa:

"Potenze di dieci. Le dimensioni delle cose nell'universo. Ovvero: che cosa succede aggiungendo un altro zero, Philip Morrison, Phylis Morrison".

Dovrebbe essercene una copia in ogni scuola, che dico in ogni casa! Per rendersi conto di quanto sia vasto l'universo in tutte le direzioni.

William Blake ne era in qualche modo consapevole quando scrisse questi versi nel XVIII secolo?

"To see the world in a Grain of sand

And Heaven in a Wild Flower

Hold infinity in the palm of your hand

And Eternity in an hour

Vedere il mondo in un granello di sabbia

E un paradiso in un fiore selvatico

Racchiudere l'infinito nella palma della tua mano

E l'eternità in un'ora"

Esercizi svolti sulle equazioni goniometriche

Alcuni esercizi svolti di supporto:

Equazione goniometrica lineare in sinx e cosx: Scarica (Nuovo link su scribd)
Problemi di applicazione della trigonometria alla geometria: 

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Esercizi di ripasso: Ripasso

Trigonometria al computer

Per la comprensione delle funzioni goniometriche può sicuramente essere d'aiuto un programma che visualizzi i grafici delle funzioni e sperimentare come varia il grafico al cambiare dei vari parametri in gioco. (Per esempio la dilatazione e contrazione).
Una soluzione è installare sul proprio PC un programma come DERIVE.
Una alternativa (sicuramente più limitata) può essere utilizzare la seguente applet Java:
Function Plotter
COnsiderate ad esempio come f(x): sin(x), sin(2*x),cos(2*x), sin(x)+cos(4*x)
Dai grafici si vede la contrazione/dilatazione e anche l'effetto sul periodo.

Laboratori di matematica (Progetto lauree scientifiche

Ho scelto alcuni laboratori all'interno del progetto lauree scientifiche, organizzato dall'Università di Milano, da proporre agli studenti. Come parte del progetto c'è anche l'attività di riproporre i laboratori in altre scuole. E' interessante osservare classi diverse affrontare gli stessi temi.
I progetti che ho scelto sono:
Crittografia (laboratorio rivolto alle prime o seconde scientifico)
Link al Progetto Lauree Scientifiche: Crittografia
Link all'articolo di koblitz, che ha fornito spunti per l'utilizzo dei grafi come tecnica di crittografia.
Biomatematica (per le quarte liceo scientifico):
Biomatematica

Riporterò sul blog il materiale didattico prodotto per i progetti.

Iniziamo

Ho creato il blog per raccogliere i tanti link alle risorse on line di matematica e fisica che normalmente utilizzo sia nella didattica a scuola che per i miei interessi..

Gli argomenti  dei post saranno questi:

matematica, fisica, scuola, filosofia e fantascienza

Intanto ecco un libro stupendo, che raccoglie tanta fisica, in uno stile particolare. E' scaricabile on line: motionmountain

I podcast delle lezioni magistralis al festival della matematica

Bellissimi!

Festival 2008

festival 2007

In particolare, Freeman Dyson: "Uccelli e rane: la matematica come metafora"